F(p)= (2p+1)/(p^2+2p-8) найти оригинал f(t)

Ответ:

$f(t)=\frac{7}{6} e^{-4t}+\frac{5}{6} e^{2t}$

Пошаговое объяснение:

$F(p)=\frac{2p+1}{p^2+2p-8}$

Найдем корни знаменателя:

$p^2+2p-8=0 \\ p_1=-4; \ p_2=2$

Разложим дробь на простейшие множители:

$\frac{2p+1}{p^2+2p-8}=\frac{2p+1}{(p+4)(p-2)}=\frac{A}{p+4}+\frac{B}{p-2}$

Методом неопределенных коэффициентов находим А и В

$\frac{A}{p+4} +\frac{B}{p-2} =\frac{A(p-2)+B(p+4)}{(p+4)(p-2)} =\frac{2p+1}{(p+4)(p-2)} \\ \\ A(p-2)+B(p+4)=2p+1 \\ \\ 1) \ p=-4 \\ A(-4-2)+0=2*(-4)+1 \\ -6A=-7 \\ A=\frac{7}{6} \\ \\ 2) \ p=2 \\ 0+B(2+4)=2*2+1 \\ 6B=5 \\ B=\frac{5}{6}$

Тогда

$F(p)=\frac{7}{6} *\frac{1}{p+4} +\frac{5}{6} *\frac{1}{p-2} \ \xrightarrow{L^{-1}} \ \frac{7}{6} e^{-4t}+\frac{5}{6} e^{2t}$