Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 6. Медиана CM перпендикулярна медиане...

Ответ:

AC = 2√3, BC = 2√6, BN = 3√3

Пошаговое объяснение:

Пусть третья медиана — BN, точка пересечения медиан — O.

Проведём KM₁ || CM. ∠AOM = ∠AKM₁ = 90°, ∠AMO = ∠AM₁K как соответственные ⇒ ΔAOM и ΔAKM₁ подобны ⇒ AM : AM₁ = AO : AK = 2 : 3 (по свойству медиан) ⇒ OM : KM₁ = 2 : 3.

CM — медиана, проведённая из прямого угла, CM = AB/2 = 3. CO : OM = 2 : 1 ⇒ OM = 2CM/3 = 1 ⇒ KM₁ = 3OM/2 = 3/2.

KM₁ || CM, CK = KB ⇒ MM₁ = M₁B = (AB/2) / 2 = AB/4. Тогда AM₁ = AM + MM₁ = AB/2 + AB/4 = 3AB/4 = 9/2. ΔAKM₁ — прямоугольный ⇒ $AK=\sqrt{AM_1^2-KM_1^2}=\sqrt{(\frac{9}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=3\sqrt{2}$ .

AO : OK = 2 : 1 ⇒ AO = 2√2, CO : OM = 2 : 1 ⇒ CO = 2. ΔAOC — прямоугольный ⇒ $AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=2\sqrt{3}$ . Тогда $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$ , $BN=\sqrt{BC^2+CN^2}=\sqrt{BC^2+(\frac{AC}{2})^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+\sqrt{3}^2}=3\sqrt{3}$ .