У числа 209! вычислили сумму цифр. у полученного числа опять вычислили сумму цифр. и так...

Ответ:

Объяснение:

Заметим, что сумма цифр у числа будет иметь такой же остаток по модулю 9, что и само число, так как пусть число имеет вид $a_{n}*10^n + a_{n-1}*10^{n-1} + ... +a_1*10+a_0$ заметим, что число вида 10^n-1 делится на 9, так как оно будет состоять из одних девяток, значит число вида $a_k*10^k = a_k*(10^k-1) + a_k$ сравнимо с $a_k$ по модулю 9. Значит все число сравнимо с суммой цифрой по модулю 9. Так как 209! делится на 9 (содержит множитель 9), то сумма цифр будет делится на 9 ⇒ сумма суммы цифр делится на 9 и. т.д. Таким образом, однозначное число будет делится на 9, значит оно равно 0 или 9, но равно 0 оно быть не может, так как сумма цифр у натурального числа ненулевая, так как содержит хотя бы 1 не 0. Значит она равна 9