Cos в квадрате 2x + cos в квадрате 6x=1, принадлежащие отрезку [0; Пи/4]

Question 1

Question 2

Ответ:

$\frac{\pi}{16}; \frac{\pi}{8}; \frac{3\pi}{16}$

Объяснение:

$\cos^2{2x}+\cos^2{6x}=1 \\ \\ 2\cos^2{2x}+2\cos^2{6x}=2 \\ \\ 1+\cos{(2\cdot 2x)}+1+\cos{(2\cdot 6x)}=2 \\ \\ 2+\cos4x+\cos12x=2 \\ \\ \cos12x+\cos4x=0 \\ \\ 2\cos\frac{12x+4x}{2} \cos\frac{12x-4x}{2} =0\\ \\ 2\cos\frac{16x}{2} \cos\frac{8x}{2} =0 \\ \\ 2\cos8x\cos4x=0$

$\cos8x=0$ или $\cos4x=0$

$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n, ~n \in Z$ или $4x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k \in Z$

$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}, ~n \in Z$ или $x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}, ~k \in Z$

Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0;\frac{\pi}{4} ]$ :

$0\leq \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}\leq \frac{\pi}{4}\\ \\0\leq \frac{1}{16}+\frac{n}{8}\leq \frac{1}{4}\\ \\0-\frac{1}{16}\leq \frac{1}{16}+\frac{n}{8}-\frac{1}{16}\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{16}\\ \\-\frac{1}{16}\leq \frac{n}{8}\leq \frac{3}{16} \\ \\-\frac{1}{16}\cdot 8 \leq \frac{n}{8}\cdot 8\leq \frac{3}{16}\cdot 8\\ \\-\frac{1}{2} \leq n \leq \frac{3}{2} \\ \\-0,5 \leq n \leq 1,5$

так как n-целое число, то $n=0, ~n=1$

если $n=0$ , то $x=\frac{\pi}{16}+ \frac{\pi \cdot 0}{8}=\frac{\pi}{16}+0=\frac{\pi}{16}$

если $n=1$ , то $x=\frac{\pi}{16}+ \frac{\pi \cdot 1}{8}=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{8}=\frac{3\pi}{16}$

2.

$0\leq \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\leq \frac{\pi}{4}\\ \\0\leq \frac{1}{8}+\frac{k}{4}\leq \frac{1}{4}\\ \\0-\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8}+\frac{k}{4}-\frac{1}{8}\leq \frac{1}{4}-\frac{1}{8}\\ \\-\frac{1}{8}\leq \frac{k}{4}\leq \frac{1}{8} \\ \\-\frac{1}{8}\cdot 4 \leq \frac{k}{4}\cdot 4\leq \frac{1}{8}\cdot 4\\ \\-\frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2} \\ \\-0,5 \leq k \leq 0,5$