** классной доске написано выражение *1*2*3*4*5*6*7*8. Крокодил Гена и Чебурашка играют в...

Question

На классной доске написано выражение *1*2*3*4*5*6*7*8. Крокодил Гена и Чебурашка играют в такую игру. Они ходят по очереди, заменяя на каждом ходу одну из звёздочек (любую, по их выбору) каким-то из знаков «+» или «-» (любым, по их усмотрению). Гена делает ход первым и стремится, чтобы получившиеся в конце игры число не было кратно трём. Чебурашка, напротив, стремится, чтобы это число было кратно трём. Кто из них выиграет, если оба будут играть наилучшим образом?

Answer 1

Ответ:

Чебурашка

Пошаговое объяснение:

Разделим числа на тройки и одну пару, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}. В первых двух множествах содержатся числа, дающие, все возможные остатки от деления на 3. В последнем множестве содержатся числа, в сумме делящиеся на 3.

У Чебурашки есть выигрышная стратегия. Если Гена ставит знак перед числом из I или II множества, Чебурашка ставит противоположный знак перед соответствующим числом во II или I множестве соответственно (соответствующее число — число, дающее тот же остаток при делении на 3). Так, после каждого хода Чебурашки текущий остаток от деления на 3 равен нулю. Если Гена ставит знак перед числом из III множества, Чебурашка ставит такой же знак перед оставшимся числом из этого множества. Тогда к результату прибавится (или отнимется) число, кратное трём, что не влияет на остаток от деления на 3.

Таким образом, Чебурашка всегда "уравновешивает" кратность трём, и, так как именно он завершает игру, всегда получает число, кратное трём.