Вычислить:

Решение:

Каждое слагаемое суммы вида $\displaystyle \frac{1}{n \cdot (n+1)}$ (в данном случае $n$ пробегает все целые значения от $1$ до $19$ включительно) представим в следующем виде:

$\displaystyle \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{(n+1)-n}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1 }{n + 1}$

Это поможет решить поставленную задачу, так как все слагаемые, кроме первого и последнего, "сократятся":

$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{19 \cdot 20} = \\\\= \bigg ( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \bigg ) + \bigg ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \bigg ) + \bigg ( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \bigg ) + ... + \bigg ( \frac{1}{19} - \frac{1}{20} \bigg ) = \\= \frac{1}{1} - \underbrace{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} } - \underbrace{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} } - \underbrace { \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{19} } - \frac{1}{20} = \\\\$

$\displaystyle = \frac{1}{1} - \frac{1}{20} = \frac{20-1}{20} =\boxed { \frac{19}{20} }$

Из этого можно сделать вывод, что в общем случае сумма считается так:

$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{n}{n+1}$

Вычислить:

Решение:

Ответ: 19 / 20 .