Найдите площадь заштрихованной фигуры угол АОВ=60⁰, СО¹=а

Ответ:

Соединим точки О и О₁ , ОО₁ - биссектриса , так как на биссектрисе лежит центр вписанной окружности ⇒ ∠СОО₁ =60°

Рассм. ΔСОО₁ . Точка С - точка касания ⇒ ∠О₁СО=90° , СО₁=а , Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит ОО₁=2*СО₁=2а .

Если продолжить ОО₁ далее, то точка касания Е - будет лежать на биссектрисе ОО₁ , и ОЕ=ОО₁+О₁Е=2а+а=3а .

Площадь сектора АОЕ равна

$S_1=\dfrac{\pi R^2\cdot \alpha }{360^\circ }=\dfrac{\pi \cdot (3a)^2\cdot 30^\circ }{360^\circ }=\dfrac{3\pi a^2}{4}\ .$

Площадь четверти круга СО₁Е радиуса "а" равна

$S_2=\dfrac{\pi r^2}{4}=\dfrac{\pi a^2}{4}$ .

Площадь ΔОО₁С равна $S_3=\dfrac{1}{2}\cdot OO_1\cdot CO_1\cdot sin\angle {OO_1C}=\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\cdot sin60^\circ =\dfrac{\sqrt3\, a^2}{2}\ .$

Площадь искомой фигуры в силу симметрии равна

$S=2\cdot (S_1-S_2-S_3)==2\cdot \Big(\dfrac{3\pi a^2}{4}-\dfrac{\pi a^2}{4}-\dfrac{\sqrt3a^2}{2}\Big)=\\\\=\dfrac{3\pi a^2}{2}-\dfrac{\pi a^2}{2}-\sqrt3a^2=\dfrac{2\pi a^2}{2}-\sqrt3a^2=\pi a^2-\sqrt3a^2=\\\\=(\pi -\sqrt3)\, a^2$

Найдите площадь заштрихованной фигуры угол АОВ=60⁰, СО¹=а​

Найдите площадь заштрихованной фигуры угол АОВ=60⁰, СО¹=а