Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, одна вершина которая...

Question

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, одна вершина которая лежит в начале координат, другая - на графике функции у=3х(х-8)^2. (0<х<8) А вершине прямого угла расположена на ось х

Answer 1

S=(1/2)ab

a=x

b=y=3х(х-8)²

S(x)=(1/2)x·х(х-8)²

Исследовать  функцию на экстремум с помощью производной на (0;8)

S`(x)=(1/2)·((x^2-8x)^2)`=(1/2)·2(x^2-8x)·(x^2-8x)`=(x^2-8x)·(2x-8)

S`(x)=0

x=0; x=4; x=8

Знак производной на (0;8)

(0) __+__ (4) __-___ (8)

x=4 - точка максимума.

S(4)=(1/2)·4^2·(4-8)²=128