В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и...

+597 голосов
1.2m просмотров

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM. Найдите площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.

Математика (500 баллов) | 1.2m просмотров
+103

Там написано:"Решив систему уравнений...мы получим...." Блин, самое сложное в задаче эту систему и решить то

оставил комментарий (500 баллов)
Дано ответов: 2
+154 голосов
Правильный ответ

Ответ:

b^2\cdot\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}

Пошаговое объяснение:

CM — медиана, проведённая из вершины прямого угла ⇒ AM = BM = CM = b. Тогда AL = b + a, BL = b - a (в зависимости от чертежа стороны могут поменяться местами, но суть от этого не поменяется).

Пусть BC = x, AC = y. Тогда по свойству биссектрисы \dfrac{x}{y}=\dfrac{BL}{AL}=\dfrac{b-a}{b+a}. Тогда BC = (b - a)k, AC = (b + a)k, k ≠ 0.

По теореме Пифагора:

(b-a)^2k^2+(b+a)^2k^2=4b^2\\k^2=\dfrac{4b^2}{(b-a)^2+(b+a)^2}=\dfrac{4b^2}{2a^2+2b^2}=\dfrac{2b^2}{a^2+b^2}

Площадь треугольника S=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}(b-a)(b+a)k^2=\dfrac{b^2-a^2}{2}\cdot\dfrac{2b^2}{a^2+b^2}=b^2\cdot\dfrac{b^2-a^2}{b^2+a^2}

(18.3k баллов)
+130

Отлично, спасибо, понял )

оставил комментарий (500 баллов)
+50

x и y относятся так же, как и b-a к b+a, то есть когда делим x на y, получаем (b-a)/(b+a). Значит, x и y отличаются от b-a и b+a в одинаковое количество раз (k). Если поделить получившиеся x и y, k попросту сократится.

оставил комментарий (18.3k баллов)
+73

Спасибо! Отличное решение! Можете поподробнее разъяснить момент с добавлением k?

оставил комментарий (500 баллов)
+142 голосов

Ответ:

\dfrac{b^2(b^2-a^2)}{a^2+b^2}

Пошаговое объяснение:

Запишем систему:

\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{BL}{BC}\\AC^2+BC^2=AB^2

Знаем, что медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Тогда image\;AB^2=4b^2" alt="AB=2b\;=>\;AB^2=4b^2" align="absmiddle" class="latex-formula">. Теперь понятно и, что AL=a+b и BL=b-a. Учитывая это получим:

\dfrac{AL^2}{AC^2}=\dfrac{BL^2}{BC^2}\\AC^2=4b^2-BC^2\\\\\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}\\AC^2=4b^2-BC^2

Получили уравнение с одной неизвестной BC:

\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}

Выразим BC:

\dfrac{(a+b)^2}{4b^2-BC^2}=\dfrac{(a-b)^2}{BC^2}\\(a+b)^2BC^2=4b^2(a-b)^2-(a-b)^2BC^2\\(a+b)^2BC^2+(a-b)^2BC^2=4b^2(a-b)^2\\BC^2((a+b)^2+(a-b)^2)=4b^2(a-b)^2\\BC^2(2a^2+2b^2)=4b^2(a-b)^2\\BC^2=\dfrac{4b^2(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\BC=\dfrac{\sqrt{2}b(b-a)}{\sqrt{a^2+b^2}}

Теперь выразим AC:

AC^2=4b^2-BC^2\\AC^2=4b^2-\dfrac{4b^2(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\\AC=\dfrac{\sqrt{2}(ab+b^2)}{\sqrt{a^2+b^2}}

Теперь найдем площадь:

S=\dfrac{1}{2}AC\times BC\\S=\dfrac{b(b-a)(ab+b^2)}{a^2+b^2}=\dfrac{b^2(b^2-a^2)}{a^2+b^2}

Задача решена!

(8.7k баллов)
+110

Здравствуйте, у меня небольшой вопрос, почему, когда вы извлекли корень из bc^2 вы поменяли местами (a-b) на (b-a)?

оставил комментарий (500 баллов)
+119

Огромное спасибо! Отличное решение )

оставил комментарий (500 баллов)
Похожие задачи