Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если эта сумма ** 6 больше...

+268 голосов
2.2m просмотров

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если эта сумма на 6 больше суммы первых трех ее членов, а сумма первых трех на 1 больше суммы следующих трех членов.

Математика (13 баллов) | 2.2m просмотров
Дан 1 ответ
+151 голосов
Правильный ответ

S=\frac{b_{1}}{1-q}

image b_{1}+b_{2}+b_{3}" alt="\frac{b_{1}}{1-q}> b_{1}+b_{2}+b_{3}" align="absmiddle" class="latex-formula">   на  6

imageb_{4}+b_{5}+b_{6}" alt="b_{1}+b_{2}+b_{3} >b_{4}+b_{5}+b_{6}" align="absmiddle" class="latex-formula">     на 1

По формуле:  b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}

\frac{b_{1}}{1-q}= b_{1}+b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^2+6      ⇒    b_{1}\cdot (\frac{1}{1-q} -(1+q+q^2))=6

b_{1}+b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^2=b_{1}q^3+b_{1}q^4+b_{1} q^5+1  ⇒b_{1}(1+ q+q^2)-b_{1}q^3(1+q+q^2)=1

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

\left \{ {{b_{1}\cdot (\frac{1}{1-q} -(1+q+q^2))=6} \atop {b_{1}(1+ q+q^2)-b_{1}q^3(1+q+q^2)=1}} \right.         \left \{ {{b_{1}\cdot\frac{1-(1^3-q^3)}{1-q}=6} \atop b_{1}\cdot (1+ q+q^2)(1-q^3)=1}} \right.       \left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop\frac{6(1-q)}{q^3}\cdot (1+ q+q^2)(1-q^3)=1}} \right.

\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{{6(1-q^3)\cdot (1-q^3)=q^3}} \right.     \left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{{6q^6-13q^3+6=0}} \right.     D=13² -4·6·6=25

\left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{q^3=\frac{2}{3}}} \right.    или    \left \{ {{b_{1}=\frac{6(1-q)}{q^3}} \atop{q^3=\frac{3}{2}}} \right.  ( не удовл условию уб. прогрессии)

\left \{ {{b_{1}=9(1-\sqrt[3]{ \frac{2}{3}})} \atop{q=\sqrt[3]{ \frac{2}{3}}}} \right.

S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{9(1-\sqrt[3]{ \frac{2}{3}})} {1-\sqrt[3]{ \frac{2}{3}}}}} =9

(414k баллов)
Похожие задачи