Числитель и знаменатель некоторой дроби – натуральные числа, причем знаменатель ** 4...

Question

1.7m просмотров

Числитель и знаменатель некоторой дроби – натуральные числа, причем знаменатель на 4 больше числителя. Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое. Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое. Найдите эту дробь.

Математика faizullin420_zn (13 баллов) 25 Авг | 1.7m просмотров

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Это дробь $\frac{3}{7}$

$\frac{x}{x+4}$ - данная дробь, знаменатель на 4 больше числителя.

Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то получим

$\frac{x+6}{(x+4)+4}=\frac{x+6}{x+8}$ ,

то дробь $\frac{x+6}{x+8}$ возрастает менее чем вдвое по сравнению с дробью $\frac{x}{x+4}$

$1$

Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1,

$\frac{x+8}{(x+4)+1}=\frac{x+9}{x+5}$

то дробь $\frac{x+9}{x+5}$ увеличивается более чем втрое по сравнению дробью $\frac{x}{x+4}$

3" alt="\frac{x+9}{x+5}: \frac{x}{x+4} >3" align="absmiddle" class="latex-formula">

Решаем систему: x≠-4

$\left \{ {{1 < \frac{(x+6)(x+4)}{(x+8)x}3}} \right.$ $\left \{ {{1 < \frac{x^2+6x+4x+24}{x^2+8x}3}} \right.$

0}}} \right." alt="\left \{ {{ \frac{x^2+6x+4x+24-2x^2-16x}{x^2+8x}0} \atop {\frac{x^2+9x+4x+36-3x-15x}{x^2+5x} >0}}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">

0}}} \right." alt="\left \{ {{ \frac{-x^2-6x+24}{x^2+8x}0} \atop {\frac{-2x^2-2x+36}{x^2+5x} >0}}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">

$x^2+6x-24=0$

D=132

$x=\frac{-6\pm2\sqrt{33}}{2}=-3\pm\sqrt{33}$

$2x^2+2x-36=0$

$x^2+x-18=0$

D=1+72

$x=\frac{-1\pm\sqrt{73}}{2}$

$-3+\sqrt{33} < \frac{-1+\sqrt{73}}{2}$

При x=3 получим дробь $\frac{3}{7}$

которая удовлетворяет указанным условиям

Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то получим

$\frac{3+6}{7+4}=\frac{9}{11}$ , $\frac{9}{11}: \frac{3}{7}=\frac{63}{33}$ , $1$

Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1,

$\frac{3+8}{7+1}=\frac{11}{8}$

то дробь увеличивается более чем втрое по сравнению дробью

$\frac{11}{8}: \frac{3}{7}=\frac{77}{24} =3\frac{5}{24}$

nafanya2014_zn (413k баллов) 25 Авг

Участник Знаний_zn · Answer 1 · 2024-08-24T21:29:11+0000

Ответ:

3/7

Пошаговое объяснение:

x - числитель.

Начальная дробь: x/(x+4), где x - натуральное число.

Система неравенств:

(x+6)/(x+4+4)<(2x)/(x+4); (x+6)/(x+8)<(2x)/(x+4)

(x+8)/(x+4+1)>(3x)/(x+4); (x+8)/(x+5)>(3x)/(x+4)

(x+6)(x+4)<2x(x+8)

x²+4x+6x+24<2x²+16x

2x²+16x-x²-10x-24>0

x²+6x-24>0

Допустим: x²+6x-24=0; D=36+96=132

x₁=(-6-2√33)/2=-3-√33 - этот корень не подходит для уравнения, так как x - натуральное число.

x₂=(-6+2√33)/2=√33 -3 - этот корень также не подходит для уравнения, так как x - натуральное число.

При 0≤x<√33 -3: (2+6)/(2+8)<(2·2)/(2+4); 24/30>20/30 - неравенство не выполняется.

При x>√33 -3: (3+6)/(3+8)<(2·3)/(3+4); 21/28<24/28 - неравенство выполняется.

Следовательно, для данного 1-го неравенства x∈[3; +∞).

(x+8)(x+4)>(3x)(x+5)

x²+4x+8x+32>3x²+15x

3x²+15x-x²-12x-32<0

2x²+3x-32<0

Допустим: 2x²+3x-32=0; D=9+256=265

x₁=(-3-√265)/4 - этот корень не подходит для уравнения, так как x - натуральное число.

x₂=(√265 -3)/4 - этот корень также не подходит для уравнения, так как x - натуральное число.

При x>(√256 -3)/4: (4+8)/(4+5)>(3·4)/(4+4); 8/6<9/6 - неравенство не выполняется.

Отсюда следует, что x=3 - это числитель.

Знаменатель: 3+4=7.

Дробь: 3/7.