Сумма десятичных логаритмов девяти последовательно членов геометрической прогрессии...

+862 голосов
6.5m просмотров

Сумма десятичных логаритмов девяти последовательно членов геометрической прогрессии составляет 8. Чему равно произведение крайних из рассматриваемых членов? ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Математика | 6.5m просмотров
Дано ответов: 2
+116 голосов

Пусть первый член равен A, тогда второй Aq и так далее до 9-го, который равен Aq^8

Известно что

\log A+\log Aq + ... +\log Aq^8 = 8\\9\log A + (1+2+3+...+8)\log q = 8\\9\log A + 36\log q = 8\\\\\log A + 4\log q = 8/9

Произведение крайних членов

P = A^2q^8\\\log P = 2\log A + 8\log q = 2(\log A+ 4\log q) = 16/9\\P = 10^{16/9}

(151k баллов)
+175 голосов

b_n - n-ый член прогрессии. Тогда:

image lg(b_5) = \frac{8}{9} => lg(b_5^2) = \frac{16}{9} => b_5^2 = 10^{\frac{16}{9}} = b_0^2 * q^{8} = b_0 * b_0*q^{8} = b_0 * b_8" alt="\sum\limits^8_{j=0} lg(b_j) = lg(\Pi \limits^8_{j=0} b_j) = lg(b_0^9*q^{\sum\limits^8_{j=1}j}) = lg(b_0^9*q^{36}) = 9lg(b_0*q^4) = 8 => lg(b_5) = \frac{8}{9} => lg(b_5^2) = \frac{16}{9} => b_5^2 = 10^{\frac{16}{9}} = b_0^2 * q^{8} = b_0 * b_0*q^{8} = b_0 * b_8" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: 10^{\frac{16}{9} }

(1.6k баллов)
Похожие задачи