Помогите с тригонометрией. Здравствуйте, ** просторах знания.ком случайно нашел вопрос,...

Question

6.2m просмотров

Помогите с тригонометрией. Здравствуйте, на просторах знания.ком случайно нашел вопрос, который очень заинтересовал меня. Вот он: "1/cosx+1/sinx=-2корня из 2. Не решается вообще. Нужна помощь". Я прорешал его сам и у меня получился ответ: x=pi/4+pi*n, Где n целое число, но в ответах оказался совсем другой ответ, да и решение(Фото прилагается). Почему автор не учитывает ОДЗ, а именно cosx не равно нулю и sinx не равно нулю? Тогда получается что его ответ неверный. Вот собственно мое решение(Как по мне наиболее простое и лаконичное. Если я не прав пожалуйста укажите ошибки в моих размышлениях). Решение: 1) 1/sinx+1/cosx=-2корня из 2 2)cosx+sinx/sinx*cosx=-2корня из 2 3)Запишем ОДЗ, что синус и косинус не равны нулю и перемножим на них обе части 4)Получилось: sinx+cosx=-2корня из 2*sinx*cosx 5)Возведем обе части в квадрат: sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=8cos^2x*sin^2x 6) Сумма квадратов равна 1, а по формуле двойного угла синуса получаем: 1+2sinxcosx=2sin2x => 1+sin2x-2sin2x=0 В итоге sin2x=1 и ответ который я написал выше. Повторяю, если я не прав то распишите почему мое решение неверное. Спасибо.

Математика cepiientin_zn (28 баллов) 25 Авг, 24 | 6.2m просмотров

Дан 1 ответ

mithridat_zn · Answer 1 · 2024-08-25T19:23:46+0000

Пошаговое объяснение:

1) Почему автор не учитывает ОДЗ, а именно $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$ ?

$\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ не являются решениями:

$\sin x + \cos x = -2 \sqrt{2} \sin x \cos x$

Пусть $\sin x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ - невозможно

Пусть $\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$ - невозможно

2) Ваш ответ, к сожалению, неверен.

Например, возьмём $x = \dfrac{\pi}{4}$ :

$\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = 2 \sqrt{2} \neq -2 \sqrt{2}$

Во-первых, Вы возводите уравнение в квадрат, это неэквивалентное преобразование - так Вы легко можете найти дополнительные неверные решения. Например, если неверное равенство $-1 = 1$ возвести в квадрат, то оно станет верным $1 = 1$ . Поэтому при таком решении обязательно в самом конце подставить все найденные решения в исходное уравнение и отобрать из них верные.