Найдите наибольшую площадь трапеции и ее периметр, если три стороны трапеции равны а...

Question

Дан 1 ответ

Участник Знаний_zn · Answer 1 · 2024-08-28T09:17:15+0000

Пусть $ABCD$ — трапеция. Так как $AB=BC=CD=a$ , то эта трапеция равнобедренная. Опустим перпендикуляр $BH$ к большему основанию $AD$ . Из прямоугольного треугольника ABH:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-BC}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{AD-a}{2}\right)^2}$

$S=\dfrac{AD+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{\big(AD-a\big)^2}{4}}$

Обозначим $AD=x$ и рассмотрим функцию $S(x)=\dfrac{x+a}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}$

$S'(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}+\dfrac{x+a}{2}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}\cdot\left(-\dfrac{x-a}{2}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}+\dfrac{a^2-x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=\dfrac{a^2+\dfrac{2ax-2x^2}{4}}{2\sqrt{a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}}}=0\\ \\ \\ 2a^2+ax-x^2=0\\ \\ x^2-ax-2a^2=0\\ \\ D=a^2+8a^2=9a^2;~~\sqrt{D}=8a$

$x_1=\dfrac{a+3a}{2}=2a;~~~ x_2=\dfrac{a-3a}{2}=-a$

Значение $x_2$ , можем отбросить. Функцию $S(x)$ мы исследуем на промежутке решения неравенства $a^2-\dfrac{(x-a)^2}{4}\geq0$ и 0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">.

0~~\Rightarrow~~ 0" alt="(x-a)^2\leq 4a^2\\ \\ -2a\leq x-a\leq 2a\\ \\ -a\leq x\leq 3a\cup a>0~~\Rightarrow~~ 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

(0)_____+___(2a)___-____(3a)

В точке $x=2a$ функция $S(x)$ имеет наибольшее значение и равна $S(2a)=\dfrac{2a+a}{2}\cdot \sqrt{a^2-\dfrac{(2a-a)^2}{4}}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Периметр трапеции: $P=a+a+a+2a=5a$