25^cosx +5^(3-2cosx)=30 Пожалуйста помогите решить

+900 голосов
4.0m просмотров

25^cosx +5^(3-2cosx)=30 Пожалуйста помогите решить

Алгебра (22 баллов) | 4.0m просмотров
Дан 1 ответ
+174 голосов

25^{\cos x} + 5^{3 - 2\cos x} = 30

(5^{2})^{\cos x} + 5^{3} \cdot 5^{-2\cos x} = 30

5^{2\cos x} + \dfrac{125}{5^{2\cos x}} = 30

Замена: image 0" alt="5^{2\cos x} = t, \ t > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Характеристическое уравнение:

t + \dfrac{125}{t} = 30

\dfrac{t^{2} - 30t + 125}{t} = 0

t^{2} - 30t + 125 = 0

t_{1} = 5; \ t_{2} = 25

Обратная замена:

1) \ 5^{2\cos x} = 5

2\cos x = 1

\cos x = \dfrac{1}{2}

x = \pm \arccos \dfrac{1}{2} + 2\pi n, \ n \in Z

x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in Z

2) \ 5^{2\cos x} = 25

5^{2\cos x} = 5^{2}

2\cos x = 2

\cos x = 1

x = 2\pi k, \ k \in Z

Ответ: x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \ x = 2\pi k, \ n \in Z, \ k \in Z

(682 баллов)
+146

Спасибо огромное

оставил комментарий (22 баллов)
Похожие задачи