Интересная задачка... Только вот как это доказать??? Помогите пж

Пусть известно число $a_{k}$ , оценим $a_{k+1}$ . Тогда достаточно выкинуть из всевозможных слов длины $k+1$ слова, начинающиеся со слов длины $k, k-1, \;..., \; 1$ (таковых $a_{k}n+a_{k-1}n^2+...+a_{1}n^k$ ), то есть $a_{k+1}\leq n^{k+1}-(a_{k}n+a_{k-1}n^2+...+a_{1}n^k) \Rightarrow \frac{a_{k+1}}{n^{k+1}}\leq 1-\sum\limits_{j=1}^{k}\frac{a_{j}}{n^{j}}$ . Отсюда $\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{a_{j}}{n^{j}}=\lim\limits_{k\to\infty} \sum\limits_{j=1}^{k}\frac{a_{j}}{n^{j}}=\lim\limits_{k\to\infty}(1-\frac{a_{k+1}}{n^{k+1}})\leq 1$ , поскольку очевидно, что $\frac{a_{k+1}}{n^{k+1}}\leq 1 \;, \forall k$ , ведь максимальное число слов длины $t$ есть число $n^t$