Ответ: x=π/18+π*k/9, 7*k-9*n≠1, где k,n∈Z.
Пошаговое объяснение:
tg(2*x)*tg(7*x)=sin(2*x)*sin(7*x)/[cos(2*x)*cos(7*x)]=1 ⇒ sin(2*x)*sin(7*x)=cos(2*x)*cos(7*x) ⇒ cos(2*x)*cos(7*x)-sin(2*x)*sin(7*x)=cos(7*x+2*x)=cos(9*x)=0. Отсюда 9*x=π/2+π*k и x=π/18+π*k/9, где k∈Z. Однако при этом должны ещё выполняться условия cos(2*x)≠0 и cos(7*x)≠0. Решая уравнения cos(2*x)=0 и cos(7*x)=0, находим x=π/4+π*m/2 и x=π/14+π*n/7, где m,n ∈Z. Поэтому нужно исключить те значения k,m и n, которые удовлетворяют уравнениям π/18+π*k/9=π/4+π*m/2 и π/18+π*k/9=π/14+π*n/7. Первое уравнение можно записать в виде 4*k=7+18*m, или 2*k=7/2+9*m. Но так как k и m - целые числа, то при любых значениях m и k число 2*k также будет целым, а число 7/2+9*m - не целым. Поэтому равенство невозможно, то есть этому уравнению не удовлетворяют никакие целые значения k и m. Второе уравнение приводится к виду 7*k=1+9*n. Оно имеет бесконечное множество решений при k=4,13,40,121 ,.... и n=3,10,31,94,.... Записав это уравнение в виде 7*k-9*n=1, получаем условие 7*k-9*n≠1. Таким образом, решение уравнения имеет вид: x=π/18+π*k/9, 7*k-9*n≠1, где k,n∈Z.