Sin^(1995)x+cos^(1995)x=1 помогите ​

+901 голосов
4.3m просмотров

Sin^(1995)x+cos^(1995)x=1 помогите ​


Алгебра (19 баллов) | 4.3m просмотров
Дан 1 ответ
+113 голосов
Правильный ответ

Ответ:

2\pi k, \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, k, n\in\mathbb{Z}

Объяснение:

Заметим, что отрицательные значения синуса или косинуса не подходят: если одна из функций меньше нуля, то другая функция не превосходит единицу, а значит, и вся левая часть меньше единицы. Тогда 0\leq \sin^{1995}{x},\cos^{1995}{x}\leq 1 (*)

С учётом этого справедливы неравенства:

\displaystyle \left \{ {{\sin^{1995}{x}\leq \sin^2{x}} \atop {\cos^{1995}{x}\leq \cos^2{x}}} \right.

Если сложить эти неравенства, получим \sin^{1995}{x}+\cos^{1995}{x}\leq \sin^2{x}+\cos^2{x}=1

Левая часть не превосходит единицу, а равенство достигается, когда неравенства превращаются в равенство:

\sin^{1995}{x}=\sin^2{x}\\\sin^{1995}{x}-\sin^2{x}=0\\\sin^2{x}(\sin^{1993}{x}-1)=0\\\sin{x}=0;1

Аналогично \cos{x}=0;1. Отметив корни уравнений на тригонометрическом круге, увидим, что x=\dfrac{\pi n}{2}, n\in\mathbb{Z}.

Учитывая ограничение (*), точки, где \sin{x},\cos{x} (II, III, IV четверти) не подходят. Тогда x=2\pi k, \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, k, n\in\mathbb{Z}.

(18.3k баллов)