Определите количество корней уравнения |х+2|+|х-а|=а+2 в зависимости от значения... - Все ответы

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$|x+2|+|x-a|=a+2$

Найдем нули подмодульных выражений:

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

$x-a=0\Rightarrow x=a$

Возможны две ситуации взаимного расположения этих точек: $a$ и $a\geq -2$ .

Заметим, что первая ситуация не дает решений, так как при $a$ выражение в правой части уравнения $a+2$ , но с другой стороны это выражение есть сумма модулей, которая не может быть отрицательной. Значит, при $a$ уравнение не имеет решений.

Рассмотрим ситуацию $a\geq -2$ . Раскроем модуль при трех условиях:

1. Пусть $x$ . Тогда оба модуля раскрываются со сменой знака:

$-(x+2)-(x-a)=a+2$

$-x-2-x+a=a+2$

$-2x=4$

$x=-2$

Но по условию раскрытия модулей $x$ . Значит, в данном случае корней нет.

2. Пусть $-2\leq x\leq a$ . Тогда первый модуль раскрывается без смены знака, а второй - со сменой знака:

$(x+2)-(x-a)=a+2$

$x+2-x+a=a+2$

$2=2$

Это верное равенство. Значит, решениями являются все значения, при которых было сделано такое раскрытие модулей:

$-2\leq x\leq a$

3. Пусть a" alt="x>a" align="absmiddle" class="latex-formula">. Тогда оба модуля раскрываются без смены знака:

$(x+2)+(x-a)=a+2$

$x+2+x-a=a+2$

$2x=2a$

$x=a$

Но по условию раскрытия модулей a" alt="x>a" align="absmiddle" class="latex-formula">. Значит, в данном случае корней нет.

Таким образом, корни имеются только при условии $a\geq -2$ . Они определяются соотношением $-2\leq x\leq a$ .

Выделив условие $a=-2$ как частный случай, можно записать ответ.

Ответ:

при $a$ : нет корней

при $a=-2$ : один корень $x=-2$

при -2" alt="a>-2" align="absmiddle" class="latex-formula">: бесконечное множество корней: $x\in[-2;\ a]$

Artem112_zn (271k баллов) 31 Авг