Формула радиуса вписанной окружности в ромб: r = Dd/4а, где D, d – диагонали ромба, а – его сторона.
По условию меньшая диагональ – 16√3 см, тогда половина данной диагонали – 8√3.
Так как острый угол равен 60°, то диагональ делит его на два угла по 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза, она же сторона ромба, равна 16√3.
Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю – равносторонний. Найдем высоту, она же половина большей диагонали, по формуле:
h = а√3/2 = 16√3·√3 / 2 = 8·3 = 24 см
Тогда большая диагональ D = 24·2 = 48 см
r = Dd/4а = 48·16√3 / 4·16√3 = 12 см
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:
S = 1/2 d₁d₂ = 1/2 Dd = 1/2·48·16√3 = 384√3 см²
Ответ: r = 12 см; S = 384√3 см²