Касательная к параболе y= проходит через начало координат. Найдите значение параметра m... - Все ответы

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Составим уравнение касательной к графику функции $y=x^2+mx+4$ в точке $x=x_0$ .

Значение функции в точке касания:

$y(x_0)=x_0^2+mx_0+4$

Найдем производную:

$y'=2x+m$

Значение производной в точке касания:

$y'(x_0)=2x_0+m$

Уравнение касательной имеет вид:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

Подставим найденные соотношения:

$y_k=x_0^2+mx_0+4+(2x_0+m)(x-x_0)$

$y_k=x_0^2+mx_0+4+2x_0x+mx-2x_0^2-mx_0$

$y_k=(2x_0+m)x+4-x_0^2$

Так как по условию касательная проходит через начало координат, то она является прямой пропорциональностью и свободный член $4-x_0^2$ равен нулю:

$4-x_0^2=0$

$x_0^2=4$

$x_0=\pm2$

Так как по условию абсцисса точки касания отрицательна, то остается вариант $x_0=-2$

Уравнение касательной принимает вид:

$y_k=(2\cdot(-2)+m)x$

$y_k=(m-4)x$

Зная, что касательная в точке касания имеет ординату 2, найдем значение m:

$2=(m-4)\cdot(-2)$

$m-4=-1$

$m=3$

Ответ: 3

Artem112_zn (271k баллов) 31 Авг