Продлим биссектрису АМ до пересечения с продолжением стороны ВС в точке Е.
Треугольники АМД и МСЕ равны (углы равны и СМ = МД по условию).
Значит, сторона ВЕ треугольника АВЕ равна 8 + 15 = 23.
А так как треугольник АВЕ равнобедренный, то АВ = ВЕ = 23.
Ответ: АВ = 23.