znanija.com/task/37830277
Решить неравенство
1) log₃(2^(x/2) +2) - log₉(2ˣ -12) > 1 ;
2) log₁₆ (3ˣ -5 ) - log₄ (3^(x/2) +5) ≤ - 1.
Ответ: : 1) (2+log₂³ ; 4 ) , 2) x ∈ (log₃⁵; 2 ]
Объяснение:
1) ОДЗ : 2ˣ -12 >0 , || 2ˣ >4*3 ; x > 2+log₂³ ||
Замена: t =2^(x/2) > 0 || 2ˣ = t² ||
log₃(t +2) - log₉(t² -12) >1 ⇔log₃(t +2) -(1/2)*log₃(t² -12) >1 ⇔
2log₃(t +2) - log₃(t² -12) >2 ⇔log₃(t +2)² > og₃(t² -12) +og₃9 ⇔
log₃(t²+4t+4) > og₃9(t² -12) . || 3>1 || t²+4*t+4 > 9(t² -12) ⇔
8t² - 4t -112 < 0 ⇔ 2t²- t -28 < 0 ⇔2(t +7/2)( t - 4) <0 || 2(t +7/2) >0 ||
⇔ t-4
x < 4, учитывая ОДЗ → ответ : 2+log₂³ < x < 4 , иначе x∈ (2+log₂³ ; 4 ).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2) ОДЗ : 3ˣ -5 >0 , || 3ˣ >5 ; x > log₃⁵ ||
Замена: t =3^(x/2) > 0 || 3ˣ = t² ||
log₁₆ (t² -5 ) - log₄ (t +5) ≤ -1 ⇔(1/2)og₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5) - 1 ⇔
log₄ (t² -5 ) ≤ 2log₄ (t +5) - 2 ⇔log₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5)² - log₄ ¹⁶ ⇔
log₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5)² /16 || 4>1 || ⇔ t² -5 ≤ (t² +10t +25)/16 ⇔
16t² - 80 ≤ t² +10t +25 ⇔15t² -10t -105 ≤ 0 ⇔3t² -2t -21 ≤ 0 ⇔
3(t +7/3)((t - 3) ≤ 0 || t +7/3 >0 || ⇔ t - 3 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3. обратная замена: 3^(x/2) ≤ 3 ⇔ ⇔x/2 ≤1 ⇔x ≤ 2 , учитывая ОДЗ → ответ : log₃⁵ < x ≤ 2 , иначе x∈ (log₃⁵ ; 2] .