** рисунке изображена схема бесконечной цепи, в которой R=1 Ом. Во сколько раз уменьшится...

+256 голосов
3.2m просмотров

На рисунке изображена схема бесконечной цепи, в которой R=1 Ом. Во сколько раз уменьшится общее сопротивление, если сопротивления всех резисторов 4R уменьшить в 4 раза? Ответ округлите до десятых.

Физика (23 баллов) | 3.2m просмотров
Дан 1 ответ
+59 голосов
Правильный ответ

Ответ:

В √2 ≈ 1,4 раза

Объяснение:

Заметим, что вначале внешний мост сбалансирован. Действительно, отношение сопротивлений справа равно отношению сопротивлений слева:

\displaystyle \frac{2R}{4R}=\frac{R}{2R}

У такого моста, потенциалы средних точек вверху и внизу одинаковы, таким образом, через внутреннюю часть цепи, подключенную к этим точкам, ток не течет и ее можно исключить из рассмотрения, и общее сопротивление цепи до уменьшения сопротивления:

\displaystyle R_1=\frac{3R*6R}{3R+6R}=2R

После уменьшения сопротивления, мост уже не будет сбалансирован и ток потечет и по внутренней бесконечной части цепи. Заменим внутреннюю бесконечную часть цепи на сопротивление \displaystyle R_x, очевидно что и общее сопротивление будет равно Rx так как от прибавления одного слоя резисторов к бесконечному числу одинаковых слоев, общее сопротивление не поменяется. Расщепим средний резистор на два и применим преобразование треугольник-звезда. Ввиду симметрии получившейся цепи:

\displaystyle R_x=\frac{4R^2}{3R+2R_x} +\frac{3RR_x}{3R+2R_x}=\frac{4R^2+3RR_x}{3R+2R_x}

\displaystyle 4R^2+3RR_x=3RR_x+2R_x^2

2R_x^2=4R^2

R_x^2=2R^2

\displaystyle R_x=\sqrt{2}R

Таким, образом, сопротивление уменьшится в:

\displaystyle \frac{R_1}{R_x}=\frac{2R}{\sqrt{2}R }=\sqrt{2} раз.

(19.7k баллов)
Похожие задачи