Докажите, что для любого натурального a значение дроби натуральными числом:

+444 голосов
2.1m просмотров

Докажите, что для любого натурального a значение дроби натуральными числом:


Алгебра (61 баллов) | 2.1m просмотров
+183

у 10^a сумма цифр всегда 1 , а значит сумма цифр числителя равна 6, то по признаку делимости на 3 числитель делится на 3 , то есть дробь является натуральны числом

+66

делится на 3

+65

сумма цифр равна 6

Дан 1 ответ
+140 голосов
Правильный ответ

Применим метод мат. индукции.

проверим для а=1,(10+5)/3=5

Предположим, что это верно для а=n т.е. справедливо (10ⁿ+5)/3

Докажем, что при (10ⁿ⁺¹+5)/3

(10ⁿ*⁺¹+5)/3=(2ⁿ⁺¹*5ⁿ⁺¹+5)=5*(2ⁿ⁺¹*5ⁿ+1)=5*(10ⁿ*2+1)

10ⁿ*2+1- сумма цифр этого числа равна трем при любом натуральном n, значит, по признаку делимости на три это число делится на три, а, значит, и все число (10ⁿ*⁺¹+5)/3, требуемое доказано.

Но еще проще было заметить, что сумма цифр исходного числа равна 6, а 6 делится на три по признаку делимости и число делится на 3. Доказано.

(150k баллов)