Сначала разберёмся в значениях кванторов, чтобы было понятно, что означают эти выражения:
∀ – для любого, для каждого, для всех
∃ – существует
∈ – принадлежит
N – множество натуральных чисел.
1. Существует такое натуральное число n, что 6n = 16. Очевидно, это неверно, потому что 16 не делится на 6 без остатка.
Чтобы сделать это утверждение правильным, можно, например, сделать n принадлежащим множеству рациональных чисел:
∃ n ∈ Q: 6n = 16.
Для прямого же отрицания верности исходного утверждения можно использовать квантор «не существует»:
∄ n ∈ N: 6n = 16.
2. Для любых а и b, принадлежащих множеству натуральных чисел, выполняется неравенство: 3а < 4b. Очевидно, это тоже неверно. Подставьте, например, а = 2, b = 1.
Чтобы утверждение стало верным, достаточно заменить квантор «для всех» на квантор «существует»:
∃ а, b ∈ N: 3a < 4b.
Для прямого отрицания не получится использовать квантор «не для всех», потому что, насколько я знаю, такого нет. Вместо этого можно над всем утверждением провести горизонтальную черту, обозначающую по смыслу отрицание этого утверждения:
_______________
∀ а, b ∈ N: 3a < 4b.
3. Существуют числа n и m, принадлежащие множеству натуральных чисел, для которых не выполняется равенство: 8n ≠ 7m + 1. И да, такие числа действительно существуют. Например, 8·2 ≠ 7·1 + 1, 16 ≠ 8. Это утверждение верно.