Точки M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA квадрата ABCD соответственно. Докажите,...

Question

Точки M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA квадрата ABCD соответственно. Докажите, что точки пересечения прямых AN, BP, CQ, DM являются вершинами квадрата

Answer 1

△ABN=△BCP=△CDQ=△DAM (по двум катетам) => соответствующие стороны и углы равны

△MAE=△NBF=△PCG=△QDH (по стороне и прилежащим углам)

Вычитая из равных отрезков равные, выясняем, что EFGH - ромб.

(AN=BP, AE=BF, FN=GP ... => AN-AE-FN =BP-BF-GP ... => EF=FG=GH=HE)

В △AME сумма острых углов 90 => E=90

EFGH - ромб с прямым углом, то есть квадрат.