Катет BC прямоугольного треугольника ABC равен 10 . Через вершину прямого угла C проведена прямая, от которой вершина A удалена на 3 , а вершина B — на 8 . Определите квадрат гипотенузы AB .
Ответ:
(см. объяснение)
Объяснение:
Первый способ:
Пусть ∠ECB=a. Тогда, т.к. ∠ACB=90°, то . Соответственно . Значит треугольник AHC подобен треугольнику BEC по двум углам (∠AHC=∠BEC=90° и ∠ECB=∠HAC=). Из подобия следует, что . Тогда по теореме Пифагора для ΔABC: .
Приведу решение, в котором используется только теорема Пифагора:
Пусть AC=x. AH=3, а BE=8. Тогда из прямоугольного треугольника AHC . Из прямоугольного треугольника BCE . Значит . Проведем AF - высоту из точки A на BE. Тогда AFEH - прямоугольник => . По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AFB . Но с другой стороны из прямоугольного треугольника ABC , т.е. получили уравнение , откуда x=5, а значит . Тогда .
Задача решена!