Свойства функции 2tg0,5xпомогите пожалуйста!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) Эта функция нечетная

$f(x)=2\tan(0,5x)$

$f(-x)=2\tan(-0,5x)=-2\tan(0,5x)=-f(x)$

$f(-x)=-f(x)$

2) Периодическая, с периодом, равным $2\pi$ .

$f(x)=2\tan(0,5(x+2\pi))=2\tan(0,5x+\pi)=2\frac{\tan0,5x+\tan\pi}{1-\tan0,5x*\tan\pi}=$

$=2\frac{\tan0,5x}{1-0*\tan0,5x}=2\frac{\tan0,5x}{1}=2\tan{0,5x}$

3) асимтотами функции будут прямые $x=\pi+2k\pi,\quad k\in Z$

4) Эта функция возрастает на каждом из промежутков $(-\pi+2k\pi;\,\pi+2k\pi),\quad k\in Z$ . Так как ее производная всегда положительна $f'(x)=\frac{1}{\cos^20,5 x}*\frac{1}{2}$ , кроме точек, в которых проходят асимптоты. Там производная не существует.

5) Экстремумов функция не имеет.

6) Зато есть точки перегиба. Возьмем вторую производную. $f''(x)=\frac{1}{2}\frac{-2}{\cos^3(0,5x)}*(-\sin(0,5x))*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sin(0,5x)}{\cos^3(0,5x)}$

Если приравнять ее к нулю, то получим, что числитель должен быть равен нулю.

sin(0,5x)=0

$0,5x=\pi*k,\quad k\in Z$

$x=2\pi k,\quad k\in Z$ - это точки перегиба, совпадающие с нулями самой функции

7) Промежутки знакопостоянства функции

$x\in(2\pi*k;\,\pi+2\pi k)$ - функция положительна

$(-\pi+2\pi k;\,2\pi k)$ - функция отрицательна

bearcab_zn (114k баллов) 16 Март, 18