Пусть десятки - это а, единицы - это b. Заметим, что 
. Иначе уже число не двузначное :)). a=1,2,3,4,5,6,7,8,9 - это все возможные числа. b=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Сумма квадратов цифр равна 
- это по условию задачи.
Заметим, что у нас должен получиться слева квадрат некоего числа. Значит и справа должен быть квадрат. Так как 
, то правая часть меньше или равна 31. Значит надо найти квадраты чисел меньших 31, но больше 0. Задача вполне выполнимая. В порядке убывания 25, 16, 9, 4,1. 0 - на всякий случай.
При 25, получаем 31-ab=25, Из этого следует, что ab=6. Причем оба этих числа положительны.
С другой стороны 
. При а=1 и b=6, а также, наоборот, а=6, b=1 получаем, что квадрат разности выполняется. При а=3 и b=2, и наоборот, квадрат разности не выполняется. То есть подходят только пары а=6, b=1 и а=1 и b=6.
При 16, получаем 31-ab=16. Из этого следует, что ab=15. Получается пара чисел а=5, b=3, или наоборот. Но вот квадрат разности не даст желаемых 16. Другие пары здесь невозможны. 15 и 1 не подойдут.
При 9, получаем 31-ab=9. ab=22. Тут снова не выходит пара чисел. Так как 22=2*11. Эти числа не могут быть а и b. 22=1*22 - тоже не нужный вариант.
При 4, получаем 31-ab=4. ab=27. Тут получается пара чисел 9 и 3. Но вот квадрат их разности будет равен 36. А это не дает 4.
При 1, получаем ab=30. Пара допустимая будет a=5, b=6 или a=6, b=5. Здесь квадрат разности будет равен 1. То есть 
. То есть получаем числа 65 и 56. Остальные пары, вроде 2 и 15 недопустимы.
Таким образом, перебрали все возможные варианты и пришли к 4 числам 16, 61, 56, 65.
Теперь вычислим их сумму: 16+61+65+56=77+121=198.
Ответ: 198 - это сумма нужных нам двузначных чисел.