Гипотенуза прям.треугольника равна 10см.радиус вписанного в этот треугольник окружность...

Question

Гипотенуза прям.треугольника равна 10см.радиус вписанного в этот треугольник окружность 2см.Найдите площадь данного треугольника?

Answer 1

Пусть a и b - катеты, а с - гиптенуза 
r=(a+b-c)/2 
2=(a+b-10)/2 
a+b-10=4 
a+b=14 (1) 
(a+b)^2=196 
По формуле квадрата суммы (а+b)^2=a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab 
Т.к. гипотенуза 10см, a^2+b^2=10^2=100. Подставляем в формулу квадрата суммы: 
100+2ab=196 
2ab=96 
ab=48 (2) 
Выражаем из (1), например, а 
a=14-b 
Подставляем в (2): 
(14-b)b=48 
14b-b^2=48 
b^2-14b+48=0 
Решаем квадратное уравнение 
b=-(-14/2)+/-квадр. корень из (14/2)^2-48 
b=7+/-1 
Катеты равны 6см и 8см 
Площадь треуг.=6*8/2=24кв.см

Answer 2

пусть АВС треугольник, и АС=10 гипотенуза

тогда О центр окружности

ОК, ОМ, ОР-соответственно перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, СВ и АС соответственно

ОК=ОМ=ОР=2 см

пусть АР=х, тогда СР=10-х

АВ=АК+КВ

ВС=СМ+МВ

АС=АР+РС=х+10-х=10

КВ=МВ=2 см, так как КВМО-квадрат

трреугольники АКО и АРО равны между собою, так как у них углы К и Р равны по 90

КО=ОР и АО- общая, по двум сторонам и углу между ними ( АО-бисектриса, от и имеем, АК=АР=х

аналогично треугольники РСО и MСО

РС=10-х

МС=10-х

тогда ВС=2+10-х=12-х

АВ=х+2

по теореме пифагора, для треугольника АВС, имеем

AC^2=AB^2+BC^2=(2+x)^2+(12-x)^2=4+4x+x^2+144-24x+x^2=2x^2-20x+148=100

  2x^2-20x+48=0 

  x^2-10x+24=0

D=100-96=4

x1=(10-2)/2=4

x2=(10+2)=6

x1+x2=4+6=10=AC

тоесть, если АР=6, то РС =4 или наоборот

тогда АК=6, СМ=4

АВ=АК+КВ=6+2=8

ВС=ВМ+МС=2+4= 6

кстати AB^2+BC^2=64+36=100=AC^2

тогда площадь будет 0.5*АВ*ВС(ВС-высота, а АВ основание)

S=0,5*8*6=8*3=24

Ответ 24 кв. см