Будем называть старшим делителем числа n самый большой из его делителей, отличных от...

Question

Будем называть старшим делителем числа n самый большой из его делителей, отличных от самого числа n . Аналогично, младший делитель числа n - это самый маленький натуральный делитель, отличный от 1. Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых старший делитель в 18 раз больше младшего?

Answer 1

Из условия следует, что данное число х можно представить в виде x = a * b * c,

где a - младший делитель, b - какое-то число, c - старший делитель. Очевидно, что a < b < c (иначе число b будет либо младшим делителем (при bc)).

Имеем a*18 = c. Число а не равно единице (по условию), число c не равно x. Число b не должно иметь делителей, меньших числа а. При этом если b не равно единице, то число х имеет делитель b * c, который больше b. Тогда получаем, что b = 1.

Получили a*18 = c, b = 1, тогда x = a * b * c = 18 а^2. У числа, которое можно записать в таком виде, уже есть наименьший делитель равный 2. Значит а = 2, тогда с = 36. и тогда х = 72.

Ответ: такое число всего одно, оно равно 72.