Из жести требуется изготовить 2-литровую цилиндрическую банку. при каких размерах этой...

Question

Из жести требуется изготовить 2-литровую цилиндрическую банку. при каких размерах этой банки на ее изготовление уйдет наименьшее количество материала?каково наименьшее количество жести,требующееся для изготовления банки?

Answer 1

Объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен
V = pi R^2 H

Площадь поверхности
S = 2pi R^2 + 2pi R H

pi R^2 H = 2
H = 2/(pi R^2)

S(R) = 2pi R^2 + 4/R

Ищем минимальное значение S(R) при R>0.
S'(R) = 4pi R - 4/R^2 = 0
R^3 = 1/pi
R = pi^(-1/3)
При 0pi^(-1/3) S(R)>0, тогда R0 = pi^(-1/3) - точка минимума.
H0 = 2 pi^(-1/3) = 2R0

S0 = 2pi R0 (R0 + H0) = 4pi R0^2 = 4pi^(1/3) дм^2