Тут прежде всего надо понять, что вершина пирамиды равноудалена от ВЕРШИН основания. Поэтому основание высоты пирамиды тоже равноудалено от вершин основания. Поэтому вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности (вокруг основания). Всё это вы можете легко увидеть, если поастроите высоту пирамиды, соедините её основание с вершинами оснований и рассмотрите получившиеся прямоугольные треугольники. Они все имеют общий катет (высоту пирамиды) и одинаковый противолежащий этому катету острый угол. То есть они РАВНЫ. Отсюда и следует все, казанное вначале.
Вот теперь можно приступить к решению.
Радиус окружности, описанной вокруг основания, находится из теоремы синусов.
2*R*sin(135) = a; R = a/(2*sin(135));
Поскольку R - это проекция бокового ребра, которое составляет с плоскостью основания угол 60 градусов, то высота пирамиды H связана с R так
H/R = tg(60);
Отсюда H = a*tg(60)/(2*sin(135)) = a*корень(3/2);