D(f) - область определения функции, т.е. все значения, которые можно подставить в функцию и получить что-то осмысленное. Если есть "просто" функция, про смысл которой ничего не известно, то обычно надо просто учесть некоторые правила:
- если есть дроби, знаменатели не должны обращаться в ноль
- если есть корни чётных степеней, подкоренные выражения должны быть неотрицательны
- основание логарифма должно быть положительным и не равным нулю, логарифмируемое выражение должно быть положительно
- аргументы arcsin, arccos изменяются от -1 до 1
- tg не определен в точках вида pi/2 + pi*n, ctg не определен в точках вида pi*n, n - произвольное целое число
и другие.
Если про функцию известно, какой смысл несут аргументы и значение функции, ограничения могут добавиться. Например, если функция вычисляет размер ежемесячного платежа по кредиту в зависимости от продолжительности кредита (в днях), то аргумент (дни) должен быть положителен, а чаще всего представляться натуральным числом.
E(f) - область значений функции, то есть все значения, которые получаются при подстановке всевозможных аргументов в функцию. Её определить, как правило, сложнее. Тут тоже можно запомнить некоторые правила, однако к ним есть куча оговорок:
- Многочлены нечётных степеней, определенные на R (множестве действительных чисел), имеют область значений R
- Корни чётных степеней, определенные на [0, ∞) принимают значения из [0, ∞)
- Корни нечетных степеней R → R (Это еще один способ записать D(f), E(f). Перед стрелкой пишется D(f), после - E(f))
- sin, cos: отрезок длины 2π → [-1, 1]
- log: (0, ∞) → R
В общем случае нахождение E(f) - непростая задача. В её решении может помочь график функции. Все "игреки" будут в множестве E(f).
Как и для D(f), наличие знания о смысле принимаемых значений также может накладывать дополнительные условия. Например, в уже рассмотренном случае о размере выплаты по кредиту размер выплаты должен быть неотрицательной величиной: ситуация, при которой банк платит за ваше пользование кредитом в настоящее время нереалистична (однако иногда наступают случаи, когда такое бывает)