Проще всего сделать замену. 1/(x - y) = a, 1/(x + y) = b.
{ 8a - b = 5
{ 15a - 6b = -3
Умножаем 1 уравнение на -6
{ -48a + 6b = -30
{ 15a - 6b = -3
Складываем уравнения
-33a = -33
a = 1, x - y = 1
b = 3, x + y = 1/3
Складываем опять уравнения
2x = 1 + 1/3 = 4/3
x = 2/3, y = -1/3