Помогите бедному студенту) Имеются 2 цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый)... - Все ответы

81 просмотров

Помогите бедному студенту)

Имеются 2 цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) тонкий (m=0,5 кг) одинакового радиуса R=6,0 см и одинаковой массы. За какое время каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h=0,50 м, угол наклона плоскости а =30. Начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.

Физика Миша45_zn (12 баллов) 06 Фев, 18 | 81 просмотров

Дан 1 ответ

Будем считать, что сила трения качения пренебрежимо мала, а также пренебрежем сопротивлением воздуха. Тогда для обоих случаев должен выполняться закон сохранения полной механической энергии.

1) Таким образом в обоих случаях цилиндры движутся под действием составляющей силы тяжести параллельной наклонной плоскости. Из второго закона Ньютона получим:

$m*g*sin\alpha=m*a$ , отсюда

$a=g*sin\alpha$ --------(1)

где $a$ - ускорение поступательного движения цилиндра.

С другой стороны ускорение $a$ равно:

$a=\frac{v-v_{o}}{t}=\frac{v}{t}$ -------(2)

где $v_{o}=0$ - начальная скорость (по условию)

$v$ - скорость цилиндра через промежуток времени $t$ , когда он коснется первый раз горизонтали.

Из (1) и (2) найдем искомое время $t$ :

$t=\frac{v}{g*sin\alpha}$ ---------(3)

2) Конечную скорость $v$ найдем с помощью закона сохранения механической энергии:

$m*g*[h+R(cos\alpha-1)]=\frac{J\omega^{2}}{2}+\frac{m*v^{2}}{2}$ ------(4)

$J=k*m*R^{2}$ ------(5)

где $J$ - момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии;

$\omega=\frac{v}{R}$ --------(6)

$\omega$ - угловая скорость вращения цилиндра

Подставим в (4) вместо $J$ и $\omega$ выражения (5) и (6), получим после сокращения:

$g*[h+R(cos\alpha-1)]=\frac{k*v^{2}}{2}+\frac{v^{2}}{2}$ , отсюда

$v=\sqrt{\frac{2g*[h+R(cos\alpha-1)]}{k+1}}$ ----------(7)

Подставим в (3) вместо $v$ выражение (7), получим расчетную формулу для искомого времени:

$t=\sqrt{\frac{2*[h+R(cos\alpha-1)]}{g*(k+1)sin^{2}\alpha}}$

Расчет времени:

а) Для сплошного цилиндра, для которого $k=\frac{1}{2}$ :

$t=\sqrt{\frac{2*[0,5+6*10^{-2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*(\frac{3}{2})*\frac{1}{4}}\approx0,52$ с

б) Для тонкостенного цилиндра, для которого $k=1$ :

$t=\sqrt{\frac{2*[0,5+6*10^{-2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*2*\frac{1}{4}}\approx0,45$

Geometr_zn (378 баллов) 06 Фев, 18