Треугольник с углами α, β и γ вписан в окружность радиуса . Найдите площадь треугольника

0 голосов
29 просмотров

Треугольник с углами α, β и γ вписан в окружность радиуса R. Найдите площадь треугольника


Геометрия (845 баллов) | 29 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Пусть углы будут  А В С, эти буквы легче набирать
центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров, проведя котрые и соединив центр  описанной окружности с вершинами треугольника, получим три треугольника 
с основаниями равными длинам сторон а в с и высотами равными R радиусу
описанной окружности. Искомая площадь равна сумме площадей этих 3-х
треугольников

S=aR/2+bR/2+cR/2=R/2*(a+b+c)

Для определения сторон а в с воспользуемся теоремой синусов справедливой для вписанного треугольника

а/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

выразив стороны получим 
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC

Тогда площадь равна:

S=R^2 *(sinA+sinB+sinC)



 

(22.6k баллов)