Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.Например, уравнение-линейное, а уравнения ине являются линейными.В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:. (1)Числа
называются коэффициентами при переменных, а
-
свободными членами.Совокупность чисел
называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений с двумя переменными и два способа их решения - способ подстановки и способ сложения. Эти способы являются основой изучаемого в курсе высшей математикеметода Гаусса. Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим эти два школьных способа.Пример 1. Решить систему линейных уравнений способом подстановки:Решение. При решении способом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй переменной.Выразим из первого уравнения данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим системуДанная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение , откуда Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.Пример 2. Решить систему линейных уравнений способом сложения:Решение. При решении систем линейных уравнений способом сложения мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.В уравнениях данной в этом примере системы коэффициенты при y - противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:, или , .Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим системуРешим полученную систему. Подставив значение в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.Пример 3. Почленное сложение уравнений системыне приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3, а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной: . Из этого уравнения находим, что . ПолучилиРешением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).Решив задачи из первых трёх примеров, мы научились производить элементарные преобразования, необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.Значительно ускоряет процесс решения систем линейныйх уравнений использование определителей.