Если Р - середина KN, то в треугольнике KEN EP - медиана, и (поскольку треугольник равнобедренный) одновременно - высота. Поэтому EP перпендикулярно KN. Но ЕР II MN. Поэтому MN перпендикулярно KN. Значит, KLMN - прямоугольник.
(Почему ЕР II MN? Ну, например, потому, что EMNP - тоже параллелограмм. Тут можно сослаться на пропорциональность отрезков LE, ЕМ и KP, PN и теорему о пропорциональных отрезках между параллельными линиями. Хотя вообще-то это очевидно, что линия, соединяющая середины противоположных сторон параллелограмма, параллельна сторонам. Можно и так - фигуры LEPK и EMNP накладываются друг на друга при параллельном переносе - при сдвиге на длину ЕМ вдоль LM, то есть они равны. Отсюда равны соответственные углы при прямых ЕР и MN и секущей LM. Как ни удивительно, это - строгое доказательство, потому что определение равенства фигур именно в этом и заключается - что они совпадают при каком-то переносе без деформации - или при зеркальном отражении).