Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри его расположены 2 равные касающие...

Question

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри его расположены 2 равные касающие окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей

Answer 1

Треугольник АВС-равнобедренный,т.как АВ=ВС=115см

Проведем высоту ВК к основанию АС.

ВК - высота,медиана и биссектриса,делит треугольник АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС.

В треуг.АВК:

АК-катет

АК=АС:2=184:2=92(см)

АВ=115см-гипотенуза

ВК- второй катет

ВК2=АВ2-АК2

ВК=корень из 115*115-92*92=69(см)

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r=(p-a)(p-b)(p-c)/p

r=ab/(a+b+c)

r = (a+b - c)/2

r=(92+69-115):2=23(см)
Треугольник АВК=треуг.КВС,значит,площади окружностей равны и радиусы в них тоже равны.

r1=r2=23cм

Answer 2

1)Проведу отрезок BH к основанию треугольника. Данный треугольник - равнобедренный, так как две стороны в нём равны.

Рассмотрю ΔABH,

По теореме Пифагора,

BH = √AB²-AH² = √13225-8464 = √4761 = 69

2)Поскольку BH касается окружности, то окружность является вписанной в ΔABH.

3)Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляем по формуле:

r = √(p-a)(p-b)(p-c)/p, где p - полупериметр треугольника. Вычислю сначала этот полупериметр:

p = (69 + 92 + 115)/2 = 138

r = √(138-69)(138-92)(138-115)/138 = √69*46*23/138 = √73002/138 = √529 = 23