Сделаем замену y'=z(x), получим уравнение z'=z+x.
Выполним еще одну замену: z(x)=u(x)*v(x), вычислим
+
(du/dx)*v+u(dv/dx-v)=x (1) - таким стало уравнение после соответствующих подстановок.
Теперь выбираем функцию v(x), так чтобы v'-v=0, чтобы обнулить слагаемое
u(dv/dx-v) в уравнении (1). Решив это уравнение, оно элементарное с разделяющимися переменными, получим 
Подставляем вычисленное v(x) в уравнение (1) и получаем:
, решаем его методом разделения переменных и получаем 
u(x)=
+C, где C-константа.
Возвращаемся к выражению z(x)=u(x)v(x)=
*( +C )=-x-1+C*e^x.
Т.е.
y'(x)=-x-1+C* 
.
Решаем это уравнение получаем dy=( -x-1+C* )dx
Получаем y(x)=
+C1, где С и С1 это константы которые находятся из начальных условий.
Ответ: y(x)= +C1, где С и С1- const