По данным двум сторонам а и b найти третью, если медианы проведённые к данным сторонам...

Question

По данным двум сторонам а и b найти третью, если медианы проведённые к данным сторонам пересекаются под прямым углом

Answer 1

Дано: треугольник АВС, ВС=а, АС=в, АВ=с, АА1 и ВВ1-медианы, АА1 пересекается с ВВ1 под углом 90 град

Найти: с

1)В треугольнике АВС точка О-точка пересечения медиан АА1 и ВВ1.

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому введём обозначения АО=2х, ОА1=х, ВО=2у, ОВ1=у

2)По условию, медианы пересекаются под прямым углом, т.е. треугольник АОВ-прямоугольный с прямым углом АОВ,

значит с=АВ=sqrt{(2x)^2+(2y)^2}=2sqrt{x^2+y^2}

3)Рассмотрим треугольник ВОА1. В нём угол ВОА1=90 град, ВО=2у, ВА1=а/2, т.к. АА1-медиана треугольника АВС.

Находим х^2=(OA1)^2=(a/2)^2-(2y)^2=a^2/4 +4y^2

4)Аналогично, из прямоугольного треугольника АОВ1 находим у^2=(OB1)^2=

=(b/2)^2-(2x)^2=b^2/4 - 4x^2

5)x^2+y^2=a^2/4 - 4y^2 +b^2/4 - 4x^2

   x^2+y^2=(a^2+b^2)/4 -4(x^2+y^2)

5(x^2+y^2)=(a^2+b^2)/4

x^2+y^2=(a^2+b^2)/20

 

6)Итак, находим с:

c=2sqrt{x^2+y^2}=2sqrt{(a^2+b^2)/20}=sqrt{(a^2+b^2)/5}

Answer 2

Запишем формулу для медианы.

Ma=sqrt(2b^2+2c^2-a^2)/2

Mb=sqrt(2a^2+2c^2-b^2)/2

по свойсту медиан и по теореме Пифагора.

(2b^2+2c^2-a^2)/9+(2a^2+2c^2-b^2)/9=c^2

2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2=9c^2

b^2+a^2=5c^2

c^2=(a^2+b^2)/5

c=sqrt(a^2+b^2)/5)