В круге с центром в точке О проведен диаметр АВ. Через точки А и В проведены касательные....

Question

В круге с центром в точке О проведен диаметр АВ. Через точки А и В проведены касательные. Третья касательная, проведенная через точку М окружности, пересекает первые две касательные в точках С и Д. Докажите, что треугольник СОД прямоугольный.

Answer 1

Соединим точку М с концами диаметра АВ.
Получим прямоугольный треугольник АМВ, т.к. угол АМВ опирается на диаметр.
Отрезки АС=СМ и МД=ДВ по скойству отрезков касательных к окружности из одной точки.
следовательно,   точки А и М, М и В  попарно равноудалены от СО и ОД, являющихся биссектрисами углов, на которых лежит центр вписанной в угол окружности ( в угол АСД и угол СДВ.
Отсюда отрезки ОС и ОД перпендикулярны хордам АМ и МВ.
Теперь расмотрим четырезугоьник ЕМКО.
Угол АМВ - прямой, так как опирается на диаметр.
Углы Е и К тоже прямые. следовательно, угол ЕОК - прямой.
Треугольник СОД - прямоугольный.

Answer 2

Треугольники СМО и САО равны (ну, например, по трем сторонам :)), поэтому СО - биссектриса угла МОА. Аналогично - из равенства треугольников MOD и ODB - OD - биссектриса угла МОВ. Поэтому СО и OD - биссектрисы смежных углов. ПОэтому они перпендикулярны, чтд.

 

Если кому-то :) кажется сложным утверждение про биссектрисы смежных углов, сумма углов СМО и МОD равна половине суммы углов МОА и МОВ, то есть 180/2= 90 градусов. По-существу, это и есть доказательство того, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны