![\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-1&a&0\\a&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-1&a&0\\a+1&0&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%262%261%5C%5C-1%26a%260%5C%5Ca%262%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-1%262%261%5C%5C-1%26a%260%5C%5Ca%2B1%260%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-1&a&0\\a&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-1&a&0\\a+1&0&0\end{array}\right]")
Это из третьей строки вычли первую строку. Дальше вычтем из 1 строки вторую, получим матрицу вида
![\left[\begin{array}{ccc}0&2-a&1\\-1&a&0\\a+1&0&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%262-a%261%5C%5C-1%26a%260%5C%5Ca%2B1%260%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "\left[\begin{array}{ccc}0&2-a&1\\-1&a&0\\a+1&0&0\end{array}\right]")
Матрица получилась нижнетреугольная. Ранг матрицы равено количеству линейнонезависимых строк или столбцов в матрице.
Рассмотрим при каких а в матрице появляются нулевые строки
1. а+1=0, а=-1, в этом случаем третья строка зануляется и можно занулить второй столбец. Вычеркиваем нулевую строку и столбец, получаем диагональную матрицу размером 2х2. Количество линейнонезависимых строк=2 значит Rg(A)=2
2. a=0. Получается матрица вида
![\left[\begin{array}{ccc}0&2&1\\-1&0&0\\1&0&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%262%261%5C%5C-1%260%260%5C%5C1%260%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "\left[\begin{array}{ccc}0&2&1\\-1&0&0\\1&0&0\end{array}\right]")
Видно, что вторая и третья строки линейно зависимы (2 получается из третьей домножением на -1). Действуя так же как и в случае 1, получаем матрицу 2х2 с линейнонезависимыми строками, значит Rg(A)=2
Во всех остальных случаев ранг матрицы получается равен Rg(A)=3.
Т.к при любых других значениях а матрица имеет диагональный вид. Значит количество линейнонезависимых векторов будет равно 3.
Ответ: a=-1 и a=0 Rg(A)=2 , 
и ф
Rg(A)=3