Помогите, пожалуйста решить… найдите все значения а, при каждом из которых уравнение...

Question

Дан 1 ответ

Geometr_zn · Answer 1 · 2018-02-07T00:20:58+0000

Из свойства модуля действительного числа имеем:

$ax-1\geq0$ , отсюда $ax\geq1$ ------(1)

Так как мы ищем решения нашего уравнения при 0" alt="x>0" align="absmiddle" class="latex-formula">, тогда (1) примет вид $a\geq0$ -----(2)

Раскроем знак модуля:

а) Если $\frac{6}{x}-3<0$ ---------(1а)

то $|\frac{6}{x}-3|=-(\frac{6}{x}-3)=3-\frac{6}{x}$ -------(2а)

При этом решением неравенства (1а) является объединение числовых промежутков:

$(-\infty; 0)\cup(2;+\infty)$

Исходное уравнение с учетом (2а) примет вид:

$3-\frac{6}{x}=ax-1$ , отсюда получим квадратное уравнение относительно $x$

$ax^2-4x+6=0$ -------(*)

Чтобы уравнение (*) имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательный:

$D=16-24a\geq0$ , отсюда

$a\leq\frac{2}{3}$ ---------(3а)

б) Если $\frac{6}{x}-3\geq0$ ---------(1б)

то модуль $|\frac{6}{x}-3|=\frac{6}{x}-3$ ---------(2б)

При этом решением неравенства (1б) является числовой полуинтервал:

$(0; 2]$

Исходное уравнение с учетом (2б) примет вид:

$\frac{6}{x}-3=ax-1$ , отсюда получим квадратное уравнение

$ax^2+2x-6=0$ -------(**)

Чтобы уравнение (**) имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательный: $D=4+24a\geq0$ , отсюда

$a\geq-\frac{1}{6}$ ---------(3а)

Но вначале мы показали, что параметр 0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

А это значит, что квадратное уравнение (**) при всех положительных значениях параметра уравнение имеет два корня.

Но так как мы ищем решения на промежутке $(0;+\infty)$ , то исходное уравнение будет иметь 3 или 4 корня, если значения параметра $a$ будут удовлетворять двойному неравенству:

$0<a\leq\frac{2}{3}$