Помогите с решением, пожалуйстаРешить уравнение: cos2x+sin^2x=0,75 Найти все корни этого...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

cos2x+sin²x = 0,75

cos²x - sin²x + sin²x = 0.75

cos²x = 0.75

cosx = ±√0.75 = ±0.5√3

1) cosx = -0.5√3

x₁ = 5π/6 + 2πn

x₂ = -5π/6 + 2πn

n =1 x₁ = (2 + 5/6) π x∉[π; 5π/2]

x₂ = (2- 5/6) π = 7π/6 x∈[π; 5π/2]

n =2 x₁ = (4 + 5/6) π x∉[π; 5π/2]

x₂ = (4- 5/6) π x∉[π; 5π/2]

2) cosx = 0.5√3

x₁ = π/6 + 2πn

x₂ = -π/6 + 2πn

n =1 x₁ = (2 + 1/6) π = 13π/6 x∈[π; 5π/2]

x₂ = (2 - 1/6) π = 11π/6 x∈[π; 5π/2]

n =2 x₁ = (4 + 1/6) π x∉[π; 5π/2]

x₂ = (4- 1/6) π x∉[π; 5π/2]

Ответ: x = 7π/6; 11π/6; 13π/6

EvaEvaEva_zn (145k баллов) 07 Фев, 18

math89_zn · Answer 1 · 2018-02-07T00:27:38+0000

Начнем с того, что cos2x=cos^2(x)-sin^2(x) и 0.75=3/4

$cos^2(x)-sin^2(x)+sin^2(x)= \frac{3}{4}$

Видим, что можно сократить sin^2(x), что и проделаем

Получаем

$cos^2(x)=\sqrt\frac{3}{4}$

Получаем:

$cos(x)=+_-\frac{\sqrt{3}}{2}$

отсюда $x=arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{\pi}{2}n$ , где n пренадлежит Z (множеству целых чисел)

Т.е. $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}n$

Поскольку рассматриваем только отрезок [π ; 5π/2], то берем только n при которых решение будет лежать в данном отрезке.

Решим 2 уравнения, с помощью которого найдем удовлетворяющие нас n,

1 уравнение будет иметь вид:

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}*n=\pi \\ \\ \frac{\pi}{2}*n=\frac{5\pi}{6} \\ \\ n=\frac{5\pi}{6}*\frac{2}{\pi}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$

Т.к n является целым числом, нужно округлить получившийся результат до целого числа, округление производится в бОльшую сторону, т.к. это начало отрезка, получаем n=2

2 уравнение будет иметь вид:

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}*n=\frac{5\pi}{2} \\ \\ \frac{\pi}{2}*n=\frac{14\pi}{6} \\ \\ n=\frac{14\pi}{6}*\frac{2}{\pi}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$

Здесь округляем в мЕньшую сторону, т.к это конец отрезка и получаем n=4.

Ответ: $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}n$ где n=2,3,4