Такие примеры решаются следующим спосоом. Исходное выражение записывается в виде F(a+alfa), где alfa некоторое МАЛЕНЬКОЕ число, затем по каким-то формулам преобразуется по точным формулам. В получившемся выражении отбрасываются члены с высокими степенями Alfa, (так как она маленька, то её вкадрат, куб и тд будут очень маленькими и ими можно пренебречь) и получается приближенная формула.
В нашем примере
(а+Alfa)^3= a^3 + 3*a^2*Alfa + 3*a*Alfa^2 + Alfa^3.
Если отбросить Alfa^3, получим приближенную формулу 1
(a+Alfa)^3 = a^3 + 3*a^2*Alfa + 3*a*Alfa^2= a^3 + 3*a*Alfa*(a+Alfa)
Членов с просто Alfa^2 нет, поэтому этим методом мы не можем получить более простой приближенной формулы, хотя попробуем с более точным анализом. Отбросим член с Alfa^2. Этот член имеет вид 3*a*Alfa^2 и его отбрасывать можно, только если он много меньше 1, то есть 3*a*Alfa^2<<1, откуда Alfa^2<<1/(3*a). Только при этом условии формулу можно применять. Получим приближенную формулу 2</p>
(a+Alfa)^3 = a^3 + 3*a^2*Alfa =a^2*(a+3*Alfa)
Гулять, так гулять! Отбросим член с Alfa. Это можно сделать, только если 3*a^2*Alfa<<1, получим приближенную формулу 3</p>
(a+Alfa)^3 = a^3
Подсчитаем по этим формулам точное и приближенные значения
1. Точное значение
(3.02)^3 = 27.543608
2. По приближенной формуле 1
(3+0.02)^3=9 +9*0,02*3,02=27.5436
3. Проверим, можно ли применять формулу 2.
Alfa^2=0.0004, 1/(3*a)=1/9=0.11111. Можно!!!
(3+0.02)^3=9*3.06=27.54
Видно, что точность достаточно высокая.
4. Проверим, можно ли применить формулу 3
3*a*a*Alfa=3*9*0.02=0.54. Нельзя сказать, что это <<1, поэтому формулу 3 применять рискованно, она дает большую погрешность. Однако, если бы нужно было бы найти, например (3.0002)^3, эту формулу 3 МОЖНО было бы применить и с достаточно высокой точностью сказать, что получится 27.</p>
Еще раз повторю, что ПЕРЕД применением этих формул нужно всегда проверять, можно ли применять ту или иную приближенную формулу, потому, что это может привести к большим погрешностям.