1). Автор рассказа (приставка рас и корень, начинающийся с "С") касается (что делает) темы воспитания подрастающего (корень раст) поколения. - 2 значение
2). Поэзия Пушкина- неиссякаемый источник, который поит "живой водой" (вОды, проверочное слово) всех, кто к нему прикоснется - 1 значение, при - значение присоединения у приставки при.
3). Чайки едва касались воды (см. объяснение в предложении 2)) и вновь взмывали вверх.
4). Мне дорого все, что касается истории Москвы - значение 3.
5). Солнце (непроизносимая согласная, проверочное соЛнышко) коснулось верхушек (вЕрх) деревьев (дЕрево) - значение 1).
6). Это нас не касается - значение 3.
Написание корней кос и кас зависит от наличия после корня суффикса а. Если этот суффикс есть, пишется "кас"