Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее...

Question

Дан 1 ответ

Geometr_zn · Answer 1 · 2018-02-07T01:04:38+0000

1) Найдем нулю нашей функции. Для чего разложим на множители формулу, которой она задана, с помощью введения новых вспомогательных членов.

$f(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+4x+x+16-2)=$ $=\frac{1}{3}((x^{3}-4x^{2}+4x)-(4x^{2}-16)+(x-2))=$ $=\frac{1}{3}[x(x-2)^{2}-4(x-2)(x+2)+(x-2)]=$ $=\frac{1}{3}(x-2)(x(x-2)-4(x+2)+1)=\frac{1}{3}(x-2)(x^{2}-6x-7)$

Из $f(x)=0$ следует:

а) $x-2=0$ , отсюда $x_{1}=2$ - нуль функции

б) $x^{2}-6x-7=0$ , $D=(-6)^{2}-4*(-7)=36+28=64$ , отсюда

$x_{2}=\frac{6+8}{2}=7$ , $x_{3}=\frac{6-8}{2}=-1$ - нули функции

Итак, функция $f(x)$ обращается в нуль в точках $x_{1}$ , $x_{2}$ и $x_{3}$

2) Найдем возможные точки экстремума нашей функции. Для чего найдем производную функции $f(x)$ :

$f^{'}(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)^{'}_{x}=\frac{1}{3}(3x^{2}-16x+5)$ -----(1)

Разложим квадратный трехчлен, стоящий в правой части (1), на целые множители. Для чего найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D=256-12*5=256-60=196=14^{2}$ , отсюда найдем корни:

$x^{'}_{1}=\frac{16+14}{6}=5$

$x^{'}_{2}=\frac{16-14}{6}=\frac{1}{3}$ ---------(2)

Тогда с (2) выражение (1) примет вид:

$f^{'}(x)=\frac{1}{3}*3*(x-5)(x-\frac{1}{3})$ ----------(3)

C помощью метода интервалов найдем промежутки, на которых производная функции $f(x)$ принимает положительные и отрицательные значения:

а) 0" alt="f^{'}(x)>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> при x принадлежащем объединению промежутков

(-бесконечности; 1/3)U(5; +бесконечности )

б) $f^{'}(x)<0$ при x принадлежащем промежутку (1/3; 5)

Известно, что промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции!

На промежутках, где $f^{'}(x)<0$ , функция убывает!

Поскольку при переходе через точку x=1/3 производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка максимума

Поскольку при переходе через точку x=5 производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка - точка минимума. Итак,

$x_{max}=\frac{1}{3}$

$x_{min}=5$